相撲の巴戦の確率

相撲の巴戦の確率を計算してみました。
　巴戦というのは同星が三人の場合におこなわれるもので、最初に戦う二人をＡとＢ、残りの一人をＣとすると、ＡとＢの勝者がＣと戦い、連続して勝てばその人が勝者、そうでなければ最初の敗者とＣが戦い、というようにして、とにかく二番続けて勝つ者が出るまでおこなうものです。以下、どの力士の実力も拮抗している（どの対戦でもおのおのが勝つ確率が同じ（つまり1/2）である）と仮定します。
　ＡとＢの確率が同じなのは明らかですが、Ｃがどうなるかは自明ではありません。樹形図を書けばわかりますが、確率はそれぞれ
　　A=B=1/4+(1/16+1/32)+(1/128+1/256)+ … =5/14
　　C=1/4+1/32+1/256+ … =4/14
となります。これより、Ｃは少し（1/14だけ）不利になることがわかります。
　実際の計算の仕方ですが、まずＣを求めます。初項が1/4、項比が1/8の等比数列の和なので、
　　(1/4)×{1-(1/8)^n}/(1-1/8)
でｎを無限大に飛ばすと、ｎの累乗の部分は０になって、2/7(=4/14)に収束します。残りのＡとＢは同様に計算してもよいですし、全確率からＣを引いて（1-2/7=5/7）、それを２で割っても出ます。
　また、これも樹形図からわかりますが、ｎ回目（n≧2）の対戦で勝負がついたとすると、Ｃが勝って終るのは、ｎが３の倍数であるときだけです。このときＡとＢが勝って終ることはありません。そして、ｎが３の倍数でないときにＡまたはＢが勝って終る可能性があり、このときＣが勝って終ることはありません。