等間隔の平行線の中に、針を投げ入れて線と重なる確率について

『国家の品格』が大ベストセラーになった、藤原正彦さんのエッセー集『祖国とは国語』をBOOK OFFで買ってきました。藤原さんはもちろん数学者なのですが、エッセーの面白さもまた無類だということは、周知だと思います。その中で珍しくも（？）、こんな数学の話があります。数学の美しさについてなのですが、
「…数学の美しさを理解するのは容易である。例えば大きな紙の上に、同じ間隔で平行線を何本も引く。一方、間隔の半分の長さの針を用意して、紙の上からポトンと落とす。落ちた針は平行線のどれかに触れるか、どれにも触れないで平行線の間に横たわるか、のどちらかである。」
「どれかの平行線に触れる確率は、数学によると、[注：円周率をπとすると]ちょうどπ分の一となる。すなわち三・一四回針を落とすと一回だけ、針は平行線に触れることになる。三百十四万回落とせば約百万回平行線に触れるということである。」
　そして藤原さんは、こういいます。「これは美しい定理である。円とは何の関係もない所に、円周率πが現れるのが意外であり、また確率がπ分の一と驚嘆すべきほど簡潔に表せるのが美しい。そのうえ、この事実が永遠に揺るぎない、というのも美に花を添えている。この美しさは、野蛮な女房や息子たちにも理解されたから、万人に理解されると思う。数学はこのような珠玉の詰まった宝石箱なのである。」
まさしく、数学の美しさを簡潔にあらわして間然とすることがない文章です。では、この結果を導出するのは、どうしたらよいでしょうか。折角ですので、ちょっとやってみました。自信はないので、間違っているかもしれませんが。
　まず、平行線が3本の場合を考え、上の線と下の線の間に針が落ちるとし、交わるか否かは真ん中の線のみに係わるとしましょう。線の間隔は1、針の長さは1/2として十分です。特異な場合として、針が必ず平行線に垂直に落ちるときを考えましょう。針の頭の落ち得る範囲は2-1/2=3/2、真ん中の線にかかるように落ちるとき、これも針の頭の落ち得る範囲は1/2なので、確率は(1/2)/(3/2)=1/3です。平行線が4本の場合、中の2本にかかるとして、確立は1/(5/2)=2/5になりますので、平行線がn+2本のとき、確率は(n/2)/((2n+1)/2)となります。nを無限大に飛ばせば、結局、確率は1/2になります。
　ここまでは小手調べです。今度は針が、平行線に垂直とは限らない、一般の場合を考えましょう。針が鉛直線と角θをなすとします。同じく平行線が3本の場合からやるとして、確率は(cosθ/2)/(2-cosθ/4)となります。平行線がn+2本の場合は、これも類推して確率は(ncosθ/2)/(n+1-cosθ/4)となるので、nを無限大に飛ばせば、確率はcosθ/2が得られます。これは、θ=0とすれば、針が鉛直な場合も含みます。
　さて、あとはθの値が0からπ/2まで変りますから、(cosθδ(θ)/2)/(π/2)を0からπ/2まで積分すると、結果は1/πが得られます。以上。
　最後、デルタ関数を使うところが自信がないところです。どうでしょうか。
　ちなみに、これは「ビュフォン(Buffon)の針」という、よく知られた問題だそうです。

祖国とは国語 (新潮文庫)