等間隔の平行線の中に、針を投げ入れて線と重なる確率について

『国家の品格』が大ベストセラーになった、藤原正彦さんのエッセー集『祖国とは国語』をBOOK OFFで買ってきました。藤原さんはもちろん数学者なのですが、エッセーの面白さもまた無類だということは、周知だと思います。その中で珍しくも（？）、こんな数学の話があります。数学の美しさについてなのですが、
「…数学の美しさを理解するのは容易である。例えば大きな紙の上に、同じ間隔で平行線を何本も引く。一方、間隔の半分の長さの針を用意して、紙の上からポトンと落とす。落ちた針は平行線のどれかに触れるか、どれにも触れないで平行線の間に横たわるか、のどちらかである。」
「どれかの平行線に触れる確率は、数学によると、[注：円周率をπとすると]ちょうどπ分の一となる。すなわち三・一四回針を落とすと一回だけ、針は平行線に触れることになる。三百十四万回落とせば約百万回平行線に触れるということである。」
　そして藤原さんは、こういいます。「これは美しい定理である。円とは何の関係もない所に、円周率πが現れるのが意外であり、また確率がπ分の一と驚嘆すべきほど簡潔に表せるのが美しい。そのうえ、この事実が永遠に揺るぎない、というのも美に花を添えている。この美しさは、野蛮な女房や息子たちにも理解されたから、万人に理解されると思う。数学はこのような珠玉の詰まった宝石箱なのである。」
まさしく、数学の美しさを簡潔にあらわして間然とすることがない文章です。では、この結果を導出するのは、どうしたらよいでしょうか。折角ですので、ちょっとやってみました。自信はないので、間違っているかもしれませんが。
　まず、平行線が3本の場合を考え、上の線と下の線の間に針が落ちるとし、交わるか否かは真ん中の線のみに係わるとしましょう。線の間隔は1、針の長さは1/2として十分です。特異な場合として、針が必ず平行線に垂直に落ちるときを考えましょう。針の頭の落ち得る範囲は2-1/2=3/2、真ん中の線にかかるように落ちるとき、これも針の頭の落ち得る範囲は1/2なので、確率は(1/2)/(3/2)=1/3です。平行線が4本の場合、中の2本にかかるとして、確立は1/(5/2)=2/5になりますので、平行線がn+2本のとき、確率は(n/2)/((2n+1)/2)となります。nを無限大に飛ばせば、結局、確率は1/2になります。
　ここまでは小手調べです。今度は針が、平行線に垂直とは限らない、一般の場合を考えましょう。針が鉛直線と角θをなすとします。同じく平行線が3本の場合からやるとして、確率は(cosθ/2)/(2-cosθ/4)となります。平行線がn+2本の場合は、これも類推して確率は(ncosθ/2)/(n+1-cosθ/4)となるので、nを無限大に飛ばせば、確率はcosθ/2が得られます。これは、θ=0とすれば、針が鉛直な場合も含みます。
　さて、あとはθの値が0からπ/2まで変りますから、(cosθδ(θ)/2)/(π/2)を0からπ/2まで積分すると、結果は1/πが得られます。以上。
　最後、デルタ関数を使うところが自信がないところです。どうでしょうか。
　ちなみに、これは「ビュフォン(Buffon)の針」という、よく知られた問題だそうです。

祖国とは国語 (新潮文庫)

『思想地図』をぱらぱら繰ってみて

NHKブックス別巻 思想地図 vol.3 特集・アーキテクチャ

『思想地図』第３号の冒頭の共同討議を読んだが、なかなか刺激的だった。まあ自分などに言うことはないのだが、ちょっとした感想を書き留めておくと、最近大文字の言葉となっている、「公共性」についてである。ここでも色々な意見が出ていたが、自分などには、こうやってアクチュアルな問題についてシンポジウムをやって、雑誌に発表するということで既に、充分「公共的」だと思う。意識的にせよ無意識的にせよ、また偽善的にせよ偽悪的にせよ、みな「真面目に」社会について、批評について考えておられて、まったく「立派」だなあなどと思わずにはいられない。自分もこんなのを読んだりすると、ちょっとは公共性を担わなければならないのかしらんなどとちらりと思ったりもするが、さて、ではどうするかと云えば、困ってしまう。凡夫の役割というものはあるのだろうか。
　本書の内容については語らなかったが、みな様々に言いながらも、結局「（社会乃至プラットフォームの）設計可能性」というのは疑われていないように感じた。自分にはそこがむつかしいところだと考えられるのだが。でもまあ、むつかしいので止めておいては、確かにそこで話も止まってしまうといえばそうなのだが。自分は別の道を選びたいけれども。

スヴャトスラフ・リヒテル讃

Sviatoslav Richter　pianist of the century

Mozart: Beethoven: Grieg: Piano Cto/Sonata

クラシック音楽好きで、ロシアの大ピアニスト、スヴャトスラフ・リヒテルの名を知らない人はまずいないと思われるが、その彼のCDセット二組を聴いてみた。個人的にもリヒテルは、グレン・グールドやマウリツィオ・ポリーニと共に、自分の最も愛聴するピアニストの座を占めている。鬼才グールドは、リヒテルを評して「最強のコミュニケーター」と呼んだが、柔軟な対応ぶりを見せるレパートリーの広さは、比類する者がない。強いて言えば現代曲が少ないとは申せるが、まったく弾かないわけではないし、プロコフィエフを現代音楽と見做せるなら、まさしく最高のプロコフィエフ弾きと云えるであろう。（上のDG盤のピアノソナタ第八番など、凄まじい演奏である。）
　リヒテルはまた、長きに亙って現役のピアニストであり、東西の冷戦下で西側デビューが遅かったにも拘らず、最晩年まで見事な演奏を聴かせた。六十年代の大変なヴィルトゥオーソとしての彼だけでなく、晩年の簡素にして瑞々しい演奏を聴かせるピアニストへの変貌も、また面白いところである。リヒテルの特徴として、演奏の「硬化」がなく、スタイルに溺れてしまうところがないという、彼は天才であった。（あのグールドですら、ある程度の「硬化」は免れなかったと思う。）それはレパートリーの特徴でもあり、音楽史で主流のドイツ古典派、ロマン派や、ホームグラウンドであるロシア音楽はもちろんのこと、ショパンやフランス物なども定評ある演奏を聴かせるなど、まさしく「最強のコミュニケーター」とは上手く言ったものであると思う。
　個人的には、彼のシューマンが好きだ。上のDG盤、EMI盤双方にピアノ協奏曲が入っているが、どちらも最高だ。この曲では第一楽章のカデンツァと第三楽章がとりわけ好きなのだが（この好みは一般的ではないかも知れない）、これをまったく美しく感動的に弾いてくれる。（ポリーニ盤やリパッティ盤と共に、愛聴している。）また、上のディスクには入っていないが、幻想曲op.17や幻想小曲集op.12などの演奏も、シューマンのロマンティシズムを堪能させてくれる。
　ちなみにリヒテルはかなりの日本好きで、よく来日してリサイタルを開いていた。これは日本好きだからというわけではないだろうが、ピアノはYAMAHAを愛用していたのは有名である。（グールドの晩年もYAMAHAだったのは、奇妙な暗合。）自分がクラシック音楽を聴くようになってからも何度か来日していたが、亡くなるまでに生で聴かなかったのは、今では残念にも思う。まさしく彼は「世紀のピアニスト」だった。

サイエンス・ライターを軽んじるな

自己組織化とは何か 第2版―自分で自分を作り上げる驚異の現象とその応用 (ブルーバックス)

閉じた系ではエントロピーは必ず増大するが、開いた系では、一時的にエントロピーが減少するような現象が見られることがある。乱雑さから、秩序が現れるようなことが起きる、とも言い換えられる。これが「自己組織化」で、まだ若い学問だが、生命を探求するのに欠かせない考え方になってきている。（哲学に注入された「オートポイエーシス」なども、これとよく似た発想だ。）本書はかなり雑多な内容で、主題との関連が判りにくい章（味覚や嗅覚に関する章など）もある。
　内容とは関係のない話だが、久しぶりにブルーバックスを読んでみたけれども、サイエンス・ライターの竹内薫さんも述べているように、学者の書いた科学書は概してサービス精神に乏しい。はっきり云って、文章も下手である。もっとサイエンス・ライターに書かせるべきだと思うが、日本の科学者は、サイエンス・ライターを軽んじる、いや、馬鹿にするという悪習があるため、優秀なサイエンス・ライターが育たない。日本の「理系離れ」は、そういうところにも大きな原因がある。編集者はそのあたりのことを、どう思っているのだろうか。竹内さんの怒りの発言をリンクしておく。
http://kaoru.txt-nifty.com/diary/2009/05/post-cdb2.html
http://kaoru.txt-nifty.com/diary/2009/04/post-a2a9.html

障害者を雇うということ

報道ステーションで、粉の出にくいチョークを製造しているという、日本理化学工業なる会社のレポートを放送していたのを見た。何でも、社員の七割だったかが、知的障害者だというのである。もとは普通（？）の会社だったのだが、五十年前に二人の実習生をたまたま受け入れてから、歴史の積み重なりでそうなったというのだ。これは、なかなか出来ることではない。今の不況で、障害者が働くことはますます難しくなっているし（実際、企業としてはまず障害者を解雇するというのが普通なのだろう。派遣も同じことである）、弱いものが切り捨てられていく社会で、本当に厳しいことになっているけれども。まったく人ごとではないのである。

思いつきでやる物理

万有引力の法則から、太陽のまわりを廻る惑星の軌道が楕円になること（ケプラーの第一法則）を示せるはずだと思い、計算してみる。極座標系で楕円を表わす式の導出に手間どる。（ちなみにそれは、半直弦をp、離心率をe、動径をrとすると、p/r=1+ecosθとなる。）運動方程式を、動径方向と方位角方向に分けなくてはならないことに思いいたらず、悩む。まあ、力学の教科書には必ず書いてあることだが。

力学 (物理入門コース1)

がやさしくて判りやすい。

一般力学

は有名な教科書。

力学・場の理論―ランダウ=リフシッツ物理学小教程 (ちくま学芸文庫)

は文庫で入手できるし、これは世界的に有名な教科書だが、式の導出はあまりにもエレガントすぎて、初学者には難しいだろう。（ちなみにこの本では、59-60頁あたりに書いてある。）

相撲の巴戦の確率

相撲の巴戦の確率を計算してみました。
　巴戦というのは同星が三人の場合におこなわれるもので、最初に戦う二人をＡとＢ、残りの一人をＣとすると、ＡとＢの勝者がＣと戦い、連続して勝てばその人が勝者、そうでなければ最初の敗者とＣが戦い、というようにして、とにかく二番続けて勝つ者が出るまでおこなうものです。以下、どの力士の実力も拮抗している（どの対戦でもおのおのが勝つ確率が同じ（つまり1/2）である）と仮定します。
　ＡとＢの確率が同じなのは明らかですが、Ｃがどうなるかは自明ではありません。樹形図を書けばわかりますが、確率はそれぞれ
　　A=B=1/4+(1/16+1/32)+(1/128+1/256)+ … =5/14
　　C=1/4+1/32+1/256+ … =4/14
となります。これより、Ｃは少し（1/14だけ）不利になることがわかります。
　実際の計算の仕方ですが、まずＣを求めます。初項が1/4、項比が1/8の等比数列の和なので、
　　(1/4)×{1-(1/8)^n}/(1-1/8)
でｎを無限大に飛ばすと、ｎの累乗の部分は０になって、2/7(=4/14)に収束します。残りのＡとＢは同様に計算してもよいですし、全確率からＣを引いて（1-2/7=5/7）、それを２で割っても出ます。
　また、これも樹形図からわかりますが、ｎ回目（n≧2）の対戦で勝負がついたとすると、Ｃが勝って終るのは、ｎが３の倍数であるときだけです。このときＡとＢが勝って終ることはありません。そして、ｎが３の倍数でないときにＡまたはＢが勝って終る可能性があり、このときＣが勝って終ることはありません。